LeNet-5

LeNet-5被认为是卷积神经网络（CNN）的开山之作，主要用于手写数字识别。它包含了卷积层、池化层和全连接层，是现代CNN的雏形。

卷积

卷积神经网络(convolutional neural network)简称CNN。卷积神经网络的核心是卷积核，卷积核在图像处理领域可以用来提取图像的纵向和横向特征。

卷积核的大小一般为奇数，如3x3，5x5，7x7等，卷积核通常与图像处理（over padding）后的图像进行卷积操作，卷积核在图像上滑动，每次滑动一个像素，对应位置的像素值与卷积核对应位置的值相乘，然后求和，最后将求和的结果作为卷积核中心像素的值，这样就得到了一个新的图像。

新的图像可以用更少的数据反应出图像的特征。这个过程就是特征提取。

我们从一个6x6的矩阵开始：

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & a_{36} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & a_{46} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} & a_{56} \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65} & a_{66} \\ \end{bmatrix}

我们的卷积核是一个3x3的矩阵：

\mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \\ \end{bmatrix}

我们假设卷积核位于原始矩阵的左上角，覆盖的区域如下：

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}

此时，输出矩阵的第一个元素 $O_{11}$ 的计算为：

O_{11} = k_{11} \cdot a_{11} + k_{12} \cdot a_{12} + k_{13} \cdot a_{13} \\ + k_{21} \cdot a_{21} + k_{22} \cdot a_{22} + k_{23} \cdot a_{23} \\ + k_{31} \cdot a_{31} + k_{32} \cdot a_{32} + k_{33} \cdot a_{33}

整个输出矩阵

卷积核在整个6x6矩阵上滑动(从左至右，从上至下)，生成一个4x4的输出矩阵。输出矩阵的每个元素都按照上述方式计算。

点击查看卷积核动画

// 你可以尝试更改矩阵尺寸与卷积核的尺寸来感受卷积过程
function example(props) {
  // 使用 XPath 查询选择输出框
  const xpathSelector =
    "/html/body/div/div[2]/div/div/main/div/div/div/div/article/div[2]/div[1]/div[4]";
  const myElement = document.evaluate(
    xpathSelector,
    document,
    null,
    XPathResult.FIRST_ORDERED_NODE_TYPE,
    null
  ).singleNodeValue;
  // 矩阵尺寸
  const matrixSize = 6;
  // 卷积核尺寸
  const kernelSize = 3;
  const matrix = Array.from({ length: matrixSize }, (_, i) =>
    Array.from({ length: matrixSize }, (_, j) => `a${i + 1}${j + 1}`)
  );
  const [position, setPosition] = useState([0, 0]);
  useEffect(() => {
    const positions = [];
    for (let i = 0; i <= matrixSize - kernelSize; i++) {
      for (let j = 0; j <= matrixSize - kernelSize; j++) {
        positions.push([i, j]);
      }
    }

    let index = 0;
    const interval = setInterval(() => {
      setPosition(positions[index]);
      index = (index + 1) % positions.length;
    }, 1000);

    return () => clearInterval(interval);
  }, []);

  return (
    <div style={{ display: 'flex', justifyContent: 'center', alignItems: 'center', height: '100vh', backgroundColor: '#f0f0f0' }}>
      <div style={{ display: 'grid', gridTemplateColumns: `repeat(${matrixSize}, 50px)`, gridGap: '5px', position: 'relative' }}>
        {matrix.map((row, i) =>
          row.map((cell, j) => (
            <div
              key={`${i}-${j}`}
              style={{
                width: '50px',
                height: '50px',
                backgroundColor: '#fff',
                border: '1px solid #ccc',
                display: 'flex',
                justifyContent: 'center',
                alignItems: 'center',
                fontSize: '18px',
                backgroundColor: i >= position[0] && i < position[0] + kernelSize && j >= position[1] && j < position[1] + kernelSize ? 'yellow' : '#fff'
              }}
            >
              {cell}
            </div>
          ))
        )}
      </div>
    </div>
  );
}

最终输出矩阵 $\mathbf{O}$ 为：

\mathbf{O} = \begin{bmatrix} O_{11} & O_{12} & O_{13} & O_{14} \\ O_{21} & O_{22} & O_{23} & O_{24} \\ O_{31} & O_{32} & O_{33} & O_{34} \\ O_{41} & O_{42} & O_{43} & O_{44} \\ \end{bmatrix}

每个 $O_{ij}$ 的具体计算方法如前所述，通过卷积核在原始矩阵上的滑动和计算得到。

通过这个例子，可以清晰地看到卷积核是如何对矩阵进行操作并生成输出的。

常见卷积核

水平边缘检测：
$\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
用途：检测水平边缘。
垂直边缘检测：
$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
用途：检测垂直边缘。
Sobel算子（水平）：
$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
用途：检测水平边缘和梯度。
Sobel算子（垂直）：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$
用途：检测垂直边缘和梯度。
拉普拉斯算子：
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
用途：检测图像的二阶导数，强调边缘。
锐化：
$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$
用途：提高图像的清晰度。
高斯模糊（3x3）：
$\frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
用途：平滑图像，减少噪声。
高斯模糊（5x5）：
$\frac{1}{256} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 6 & 24 & 36 & 24 & 6 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
用途：更强的平滑效果。
边缘增强：
$\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 9 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$
用途：增强边缘，使图像轮廓更加明显。
均值滤波：
$\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
用途：均匀地平滑图像。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import cv2

# 设置中文字体
# 替换为你系统中支持中文的字体路径(windows)
font_path = r'C:\Windows\Fonts\simhei.ttf'  
# mac（如果有的话）
# font_path = '/System/Library/Fonts/STHeiti Light.ttc' 
font_prop = FontProperties(fname=font_path)

# 读取灰度图像
image = np.array(cv2.imread('data/people.bmp',cv2.IMREAD_GRAYSCALE))

# 定义卷积核
kernels = {
    '水平边缘': np.array([[-1, -1, -1], [0, 0, 0], [1, 1, 1]]),
    '垂直边缘': np.array([[-1, 0, 1], [-1, 0, 1], [-1, 0, 1]]),
    'Sobel水平': np.array([[-1, 0, 1], [-2, 0, 2], [-1, 0, 1]]),
    'Sobel垂直': np.array([[1, 2, 1], [0, 0, 0], [-1, -2, -1]]),
    '拉普拉斯': np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]]),
    '锐化': np.array([[0, -1, 0], [-1, 5, -1], [0, -1, 0]]),
    '高斯模糊3x3': np.array([[1, 2, 1], [2, 4, 2], [1, 2, 1]]) / 16,
    '高斯模糊5x5': np.array([[1, 4, 6, 4, 1], [4, 16, 24, 16, 4], [6, 24, 36, 24, 6], [4, 16, 24, 16, 4], [1, 4, 6, 4, 1]]) / 256,
    '边缘增强': np.array([[-1, -1, -1], [-1, 9, -1], [-1, -1, -1]]),
    '均值滤波': np.array([[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]) / 9
}

# 使用NumPy实现卷积操作
def convolve2d(image, kernel):
    # 获取图像和卷积核的尺寸
    i_height, i_width = image.shape
    k_height, k_width = kernel.shape
    
    # 计算输出图像的尺寸
    o_height = i_height - k_height + 1
    o_width = i_width - k_width + 1
    
    # 创建输出图像
    output = np.zeros((o_height, o_width))
    
    # 执行卷积操作
    for y in range(o_height):
        for x in range(o_width):
            # 提取图像区域
            region = image[y:y+k_height, x:x+k_width]
            # 计算卷积值
            output[y, x] = np.sum(region * kernel)
    
    return output

# 应用卷积核
results = {}
for name, kernel in kernels.items():
    # 为了处理边界，先对图像进行填充
    if kernel.shape[0] == 5:  # 对于5x5卷积核
        pad_width = 2
    else:  # 对于3x3卷积核
        pad_width = 1
    
    padded_image = np.pad(image, pad_width, mode='constant')
    filtered_image = convolve2d(padded_image, kernel)
    
    # 归一化处理，确保像素值在有效范围内
    filtered_image = np.clip(filtered_image, 0, 255).astype(np.uint8)
    results[name] = filtered_image

# 显示结果
plt.figure(figsize=(15, 8))
for i, (name, result) in enumerate(results.items()):
    plt.subplot(3, 4, i + 1)
    plt.imshow(result, cmap='gray')
    plt.title(name, fontproperties=font_prop)
    plt.axis('off')

plt.tight_layout()
plt.show()

池化

池化（Pooling）是一种用于减少卷积神经网络（CNN）中特征图大小的操作。它通过将特征图上的局部区域进行聚合，得到一个更小的特征图。

池化操作类似卷积操作，使用的也是一个很小的矩阵，叫做池化核，但是池化核本身没有参数，只是通过对输入特征矩阵本身进行运算，它的大小通常是2x2、3x3、4x4等，然后将池化核在卷积得到的输出特征图中进行池化操作，需要注意的是，池化的过程中也有Padding方式以及步长的概念，与卷积不同的是，池化的步长往往等于池化核的大小。最常见的池化操作为最大值池化（Max Pooling）和平均值池化（Average Pooling）两种。

import numpy as np

def pooling(input_array, pool_size=(2, 2), stride=None, mode='max'):
    """
    池化操作函数
    
    参数:
        input_array: 输入数组，形状为[height, width]或[batch, height, width, channels]
        pool_size: 池化窗口大小，默认为(2, 2)
        stride: 步长，默认与pool_size相同
        mode: 池化类型，'max'表示最大池化，'avg'表示平均池化
        
    返回:
        池化后的数组
    """
    # 如果未指定stride，则默认与pool_size相同
    if stride is None:
        stride = pool_size
    
    # 确保输入是numpy数组
    input_array = np.asarray(input_array)
    
    # 处理不同维度的输入
    if input_array.ndim == 2:  # 单通道2D输入
        h, w = input_array.shape
        d = 1
        input_array = input_array.reshape(1, h, w, 1)
    elif input_array.ndim == 3:  # 带批次或通道的3D输入
        raise ValueError("输入数组维度应为2D或4D")
    elif input_array.ndim == 4:  # 标准4D输入 [batch, height, width, channels]
        pass
    else:
        raise ValueError("输入数组维度应为2D或4D")
    
    # 获取输入尺寸
    batch_size, height, width, channels = input_array.shape
    
    # 计算输出尺寸
    out_height = (height - pool_size[0]) // stride[0] + 1
    out_width = (width - pool_size[1]) // stride[1] + 1
    
    # 初始化输出数组
    output = np.zeros((batch_size, out_height, out_width, channels))
    
    # 执行池化操作
    for b in range(batch_size):
        for c in range(channels):
            for i in range(out_height):
                for j in range(out_width):
                    h_start = i * stride[0]
                    h_end = h_start + pool_size[0]
                    w_start = j * stride[1]
                    w_end = w_start + pool_size[1]
                    
                    pool_region = input_array[b, h_start:h_end, w_start:w_end, c]
                    
                    if mode == 'max':
                        output[b, i, j, c] = np.max(pool_region)
                    elif mode == 'avg':
                        output[b, i, j, c] = np.mean(pool_region)
                    else:
                        raise ValueError("支持的模式为'max'或'avg'")
    
    # 如果输入是2D，则返回2D输出
    if input_array.shape[0] == 1 and input_array.shape[3] == 1:
        return output[0, :, :, 0]
    
    return output

# 示例使用
if __name__ == "__main__":
    # 创建测试数据
    test_data = np.array([
        [1, 2, 3, 4],
        [5, 6, 7, 8],
        [9, 10, 11, 12],
        [13, 14, 15, 16]
    ])
    
    # 最大池化
    max_pooled = pooling(test_data, pool_size=(2, 2), mode='max')
    print("最大池化结果:")
    print(max_pooled)
    
    # 平均池化
    avg_pooled = pooling(test_data, pool_size=(2, 2), mode='avg')
    print("平均池化结果:")
    print(avg_pooled)
'''
最大池化结果:
[[ 6.  8.]
 [14. 16.]]
平均池化结果:
[[ 3.5  5.5]
 [11.5 13.5]]
'''

over padding(填充)

有时图像的特征在边缘上，例如

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像
inputs = np.array([
  [255,1,2],
  [255,1,2],
  [255,1,2],]

)
# 用于提取纵向特征的卷积核
kernel = np.array([
  [0,1,0],
  [0,1,0],
  [0,1,0]]
)

# 卷积操作结果，没能正确获取边缘的特征
'''
[[0.   2.   0.]
 [0.   2.   0.]
 [0.   2.   0.]]
'''


# 对输入图像进行填充
# array: 需要填充的数组
# pad_width: 填充的宽度(上下左右都填充)
# mode: 填充的方式，通常为'constant',
# 有0、空、最大、平均、中位等11种参数可以选，点击方法进入查看
# constant_values: 填充的值，通常为0
inputs = np.pad(
    array=inputs,
    pad_width=1,
    mode='constant',
    constant_values=0
)


# 卷积操作
out_put = np.zeros((inputs.shape[0] - kernel.shape[0] + 1, inputs.shape[1] - kernel.shape[1] + 1))
out_put_w = out_put.shape[0]
out_put_h = out_put.shape[1]

for i in range(out_put_w):
    for j in range(out_put_h):
        conv_result = np.sum(inputs[i:i+kernel.shape[0], j:j+kernel.shape[1]] * kernel)
        out_put[i][j] = conv_result

# 卷积操作结果,正确的获取到了边缘的特征
print(out_put)
'''
[[510.   2.   4.]
 [765.   3.   6.]
 [510.   2.   4.]]
'''

步幅

步幅表示卷积核移动的步长，步幅越大，卷积核每次跳跃的距离就越多，卷积核的感受野越小。

tip

感受野（Receptive Field）的定义：源自生物专业术语，在机器学习中表示卷积神经网络每一层输出的特征图（feature map）上的像素点映射回输入图像上的区域大小。通俗点的解释是，特征图上一点，相对于原图的大小，也是卷积神经网络特征所能看到输入图像的区域。

import numpy as np

def convolution_2d(input_array, kernel, stride=3):
    """
    实现2D卷积操作
    
    参数:
        input_array: 输入数组，形状为 (height, width)
        kernel: 卷积核，形状为 (kernel_size, kernel_size)
        stride: 卷积步长，默认为3
        
    返回:
        卷积结果数组
    """
    # 获取输入数组和卷积核的尺寸
    input_height, input_width = input_array.shape
    kernel_size = kernel.shape[0]
    
    # 计算输出数组的尺寸
    output_height = (input_height - kernel_size) // stride + 1
    output_width = (input_width - kernel_size) // stride + 1
    
    # 初始化输出数组
    output = np.zeros((output_height, output_width))
    
    # 执行卷积操作
    for i in range(output_height):
        for j in range(output_width):
            # 计算当前窗口的位置
            start_i = i * stride
            start_j = j * stride
            
            # 提取当前窗口
            window = input_array[start_i:start_i+kernel_size, start_j:start_j+kernel_size]
            
            # 计算卷积和
            output[i, j] = np.sum(window * kernel)
    
    return output

# 示例使用
if __name__ == "__main__":
    # 创建10x10的示例输入数组
    input_array = np.ones((8, 8))
    # 即输入数组每行列数据下标为 0-7 0-7
    
    # 创建5x5的卷积核
    kernel = np.ones((5, 5))
    
    # 执行卷积操作，步幅为3
    # 第一次卷积的区域为 0-4 0-4
    # 第二次卷积的区域为 3-7 3-7
    result = convolution_2d(input_array, kernel, stride=3)
    
    print("输入数组形状:", input_array.shape)
    print("卷积核形状:", kernel.shape)
    print("卷积结果形状:", result.shape)
    print("\n输入数组:")
    print(input_array)
    print("\n卷积核:")
    print(kernel)
    print("\n卷积结果:")
    print(result)
'''
输入数组形状: (10, 10)
卷积核形状: (5, 5)
卷积结果形状: (2, 2)

输入数组:
[[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]]

卷积核:
[[1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 1.]]

卷积结果:
[[25. 25.]
 [25. 25.]]
'''

手写数字识别

pytorch
numpy

这是pytorch实现

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np

# 加载数据 & 预处理
digits = load_digits()
X = digits.images.astype(np.float32) / 16.0  # 归一化到0~1
y = digits.target
X = X[..., np.newaxis]  # 添加通道维度 (n,8,8,1)
num_classes = 10

# 划分训练/验证集
X_train, X_val, y_train, y_val = train_test_split(
    X, y, test_size=0.2, random_state=42, stratify=y
)

# 转换为PyTorch张量，并调整为NCHW格式
X_train = torch.tensor(X_train).permute(0, 3, 1, 2)  # NHWC -> NCHW
X_val = torch.tensor(X_val).permute(0, 3, 1, 2)
y_train = torch.tensor(y_train, dtype=torch.long)
y_val = torch.tensor(y_val, dtype=torch.long)


# 定义模型
class SimpleConvNet(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(SimpleConvNet, self).__init__()
        self.conv = nn.Conv2d(1, 8, kernel_size=3, padding=1)  # 输入1通道，输出8通道
        self.relu = nn.ReLU()
        self.pool = nn.MaxPool2d(kernel_size=2)  # 2x2池化
        self.fc = nn.Linear(4 * 4 * 8, num_classes)  # 全连接层

    def forward(self, x):
        x = self.conv(x)  # 卷积层
        x = self.relu(x)  # ReLU激活
        x = self.pool(x)  # 最大池化
        x = x.reshape(x.shape[0], -1)
        x = self.fc(x)  # 全连接层
        return x


# 创建模型、损失函数和优化器
model = SimpleConvNet()
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)

# 训练参数
epochs = 10
batch_size = 64

# 训练循环
for epoch in range(epochs):
    # 创建数据加载器进行批处理
    indices = torch.randperm(len(X_train))

    model.train()  # 设置为训练模式
    total_loss = 0

    # 小批量训练
    for i in range(0, len(X_train), batch_size):
        # 获取批次数据
        batch_indices = indices[i : i + batch_size]
        x_batch = X_train[batch_indices]
        y_batch = y_train[batch_indices]

        # 前向传播
        outputs = model(x_batch)
        loss = criterion(outputs, y_batch)
        total_loss += loss.item()

        # 反向传播和优化
        optimizer.zero_grad()  # 清除之前的梯度
        loss.backward()  # 反向传播
        optimizer.step()  # 更新参数

    # 验证
    model.eval()  # 设置为评估模式
    with torch.no_grad():  # 不计算梯度
        outputs = model(X_val)
        _, predicted = torch.max(outputs, 1)  # 获取最大值所在位置
        accuracy = (predicted == y_val).float().mean()

    print(
        f"Epoch {epoch+1}/{epochs}  loss={total_loss/len(indices)*batch_size:.4f}  val_acc={accuracy:.4f}"
    )
'''
Epoch 1/10  loss=2.2956  val_acc=0.4472
Epoch 2/10  loss=2.0604  val_acc=0.6167
Epoch 3/10  loss=1.5787  val_acc=0.7861
Epoch 4/10  loss=1.0126  val_acc=0.8000
Epoch 5/10  loss=0.6914  val_acc=0.7972
Epoch 6/10  loss=0.5458  val_acc=0.7917
Epoch 7/10  loss=0.4080  val_acc=0.8417
Epoch 8/10  loss=0.3853  val_acc=0.8778
Epoch 9/10  loss=0.3235  val_acc=0.9111
Epoch 10/10  loss=0.2700  val_acc=0.9250
'''

这是numpy实现

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.model_selection import train_test_split


# 卷积层前向传播
def conv2d_forward(x, w, b):
    # x: 输入数据，形状为(N,H,W,C)
    # w: 卷积核权重，形状为(Kh,Kw,C,Cout)
    # b: 偏置项，长度为Cout
    N, H, W, C = x.shape  # 获取输入数据的形状
    Kh, Kw, _, Cout = w.shape  # 获取卷积核的形状
    padding = 1  # 固定使用padding=1
    Ho = (H + 2 * padding - Kh) + 1  # 计算输出高度
    Wo = (W + 2 * padding - Kw) + 1  # 计算输出宽度
    # 对输入数据进行填充
    x_pad = np.pad(
        x, [(0, 0), (padding, padding), (padding, padding), (0, 0)], "constant"
    )
    # 初始化输出张量
    y = np.zeros((N, Ho, Wo, Cout), dtype=x.dtype)

    # 计算卷积
    for n in range(N):  # 遍历每个样本
        for i in range(Ho):  # 遍历输出高度
            for j in range(Wo):  # 遍历输出宽度
                # 获取当前位置对应的输入数据块
                patch = x_pad[n, i : i + Kh, j : j + Kw, :]
                for cout in range(Cout):  # 遍历每个输出通道
                    # 计算卷积结果
                    y[n, i, j, cout] = np.sum(patch * w[:, :, :, cout]) + b[cout]

    cache = (x, w, b, x_pad)  # 缓存用于反向传播
    return y, cache


# 卷积层反向传播
def conv2d_backward(dy, cache):
    # dy: 输出梯度，形状与卷积层输出相同
    # cache: 前向传播保存的缓存数据
    x, w, b, x_pad = cache  # 解包缓存数据
    N, H, W, C = x.shape  # 获取输入数据的形状
    Kh, Kw, _, Cout = w.shape  # 获取卷积核的形状
    _, Ho, Wo, _ = dy.shape  # 获取输出梯度的形状
    padding = 1  # 固定使用padding=1

    # 初始化梯度
    dx_pad = np.zeros_like(x_pad)  # 填充后输入的梯度
    dw = np.zeros_like(w)  # 权重梯度
    db = np.zeros_like(b)  # 偏置梯度

    # 计算梯度
    for n in range(N):  # 遍历每个样本
        for i in range(Ho):  # 遍历输出高度
            for j in range(Wo):  # 遍历输出宽度
                # 获取当前位置对应的输入数据块
                patch = x_pad[n, i : i + Kh, j : j + Kw, :]
                for cout in range(Cout):  # 遍历每个输出通道
                    # 累加权重梯度
                    dw[:, :, :, cout] += patch * dy[n, i, j, cout]
                    # 累加输入梯度
                    dx_pad[n, i : i + Kh, j : j + Kw, :] += (
                        w[:, :, :, cout] * dy[n, i, j, cout]
                    )
                    # 累加偏置梯度
                    db[cout] += dy[n, i, j, cout]

    # 去除填充，得到原始输入梯度
    dx = dx_pad[:, padding:-padding, padding:-padding, :]
    return dx, dw, db


# ReLU激活函数前向传播
def relu_forward(x):
    # x: 输入数据
    y = np.maximum(0, x)  # ReLU激活函数：max(0,x)
    return y, x  # 返回输出和缓存(输入x)


# ReLU激活函数反向传播
def relu_backward(dy, cache):
    # dy: 输出梯度
    # cache: 前向传播缓存的输入x
    x = cache
    # ReLU梯度：当x>0时为1，否则为0
    return dy * (x > 0)


# 最大池化前向传播
def maxpool_forward(x):
    # x: 输入数据，形状为(N,H,W,C)
    N, H, W, C = x.shape  # 获取输入形状
    pool_size = (2, 2)  # 固定池化窗口大小为2x2
    ph, pw = pool_size
    # 计算输出大小
    Ho = (H - ph) // 2 + 1
    Wo = (W - pw) // 2 + 1

    # 初始化输出张量和掩码
    y = np.zeros((N, Ho, Wo, C), dtype=x.dtype)
    mask = {}  # 记录最大值位置

    # 计算池化
    for n in range(N):  # 遍历每个样本
        for i in range(Ho):  # 遍历输出高度
            for j in range(Wo):  # 遍历输出宽度
                # 获取当前池化窗口
                patch = x[n, i * 2 : i * 2 + ph, j * 2 : j * 2 + pw, :]
                # 计算窗口内最大值
                y[n, i, j, :] = patch.max(axis=(0, 1))

                # 记录每个通道的最大值位置
                for c in range(C):
                    idx = np.unravel_index(np.argmax(patch[:, :, c]), (ph, pw))
                    mask[(n, i, j, c)] = (i * 2 + idx[0], j * 2 + idx[1])

    return y, (x, mask)  # 返回输出和缓存


# 最大池化反向传播
def maxpool_backward(dy, cache):
    # dy: 输出梯度
    # cache: 前向传播保存的缓存
    x, mask = cache  # 解包缓存

    # 初始化输入梯度
    dx = np.zeros_like(x)
    N, Ho, Wo, C = dy.shape  # 获取输出梯度形状

    # 计算梯度：仅在最大值位置传递梯度
    for n in range(N):  # 遍历每个样本
        for i in range(Ho):  # 遍历输出高度
            for j in range(Wo):  # 遍历输出宽度
                for c in range(C):  # 遍历每个通道
                    # 获取最大值位置并传递梯度
                    xi, xj = mask[(n, i, j, c)]
                    dx[n, xi, xj, c] += dy[n, i, j, c]

    return dx


# 展平层前向传播
def flatten_forward(x):
    # x: 输入数据，形状为(N,H,W,C)
    # 将输入展平为(N, H*W*C)的二维张量
    return x.reshape(x.shape[0], -1), x.shape


# 展平层反向传播
def flatten_backward(dy, cache):
    # dy: 输出梯度，形状为(N, H*W*C)
    # cache: 原始输入形状
    # 将梯度重塑回原始输入形状
    return dy.reshape(cache)


# 全连接层前向传播
def dense_forward(x, w, b):
    # x: 输入数据，形状为(N, Din)
    # w: 权重，形状为(Din, Dout)
    # b: 偏置，长度为Dout
    y = x.dot(w) + b  # 线性变换：y = x·w + b
    return y, (x, w, b)  # 返回输出和缓存


# 全连接层反向传播
def dense_backward(dy, cache):
    # dy: 输出梯度，形状为(N, Dout)
    # cache: 前向传播缓存
    x, w, b = cache  # 解包缓存

    # 计算各个参数的梯度
    dx = dy.dot(w.T)  # 输入梯度：dy·w^T
    dw = x.T.dot(dy)  # 权重梯度：x^T·dy
    db = dy.sum(axis=0)  # 偏置梯度：每个批次梯度的和

    return dx, dw, db


# Softmax交叉熵损失前向传播
def softmax_crossentropy_forward(logits, labels):
    # logits: 预测值，形状为(N, 类别数)
    # labels: 真实标签，形状为(N, 类别数)，one-hot编码

    # 计算softmax概率，防止数值溢出
    ex = np.exp(logits - logits.max(axis=1, keepdims=True))
    proba = ex / ex.sum(axis=1, keepdims=True)

    N = logits.shape[0]  # 样本数量
    # 计算交叉熵损失
    loss = -np.sum(labels * np.log(proba + 1e-12)) / N

    return loss, (proba, labels, N)  # 返回损失和缓存


# Softmax交叉熵损失反向传播
def softmax_crossentropy_backward(cache):
    # cache: 前向传播缓存
    proba, labels, N = cache  # 解包缓存
    # 计算梯度：(softmax概率 - 真实标签) / 样本数
    return (proba - labels) / N


# 加载数据集
digits = load_digits()
X = digits.images.astype(np.float32) / 16.0  # 归一化到0~1范围
y = digits.target
X = X[..., np.newaxis]  # 添加通道维度，变为(N,8,8,1)的形状
num_classes = 10

# 将标签转为one-hot编码
Y = np.eye(num_classes)[y]

# 划分训练集和验证集
X_train, X_val, Y_train, Y_val = train_test_split(X, Y, test_size=0.2, stratify=y)
y_val_labels = Y_val.argmax(axis=1)  # 验证集标签(数字形式)

# 初始化网络参数(使用He初始化)
w1 = np.random.randn(3, 3, 1, 8).astype(np.float32) * np.sqrt(2 / 9)  # 卷积层权重
b1 = np.zeros(8, dtype=np.float32)  # 卷积层偏置
w2 = np.random.randn(4 * 4 * 8, num_classes).astype(np.float32) * np.sqrt(
    2 / 128
)  # 全连接层权重
b2 = np.zeros(num_classes, dtype=np.float32)  # 全连接层偏置

# 超参数
epochs = 10  # 训练轮数
batch_size = 64  # 批次大小
lr = 0.1  # 学习率

# 训练过程
num_train = X_train.shape[0]  # 训练样本数量
for ep in range(epochs):
    # 打乱训练数据
    perm = np.random.permutation(num_train)
    X_train = X_train[perm]
    Y_train = Y_train[perm]

    # 小批量训练
    for i in range(0, num_train, batch_size):
        xb = X_train[i : i + batch_size]  # 当前批次输入
        yb = Y_train[i : i + batch_size]  # 当前批次标签

        # 前向传播
        out1, c1 = conv2d_forward(xb, w1, b1)  # 卷积层
        out1r, c1r = relu_forward(out1)  # ReLU激活
        out2, c2 = maxpool_forward(out1r)  # 最大池化
        flat, cf = flatten_forward(out2)  # 展平层
        logits, c3 = dense_forward(flat, w2, b2)  # 全连接层
        loss, c4 = softmax_crossentropy_forward(logits, yb)  # 损失计算

        # 反向传播
        dlogits = softmax_crossentropy_backward(c4)  # 损失梯度
        dflat, dw2, db2 = dense_backward(dlogits, c3)  # 全连接层梯度
        dout2 = flatten_backward(dflat, cf)  # 展平层梯度
        dout1r = maxpool_backward(dout2, c2)  # 池化层梯度
        dout1 = relu_backward(dout1r, c1r)  # ReLU梯度
        _, dw1, db1 = conv2d_backward(dout1, c1)  # 卷积层梯度

        # 参数更新(梯度下降)
        w1 -= lr * dw1  # 更新卷积层权重
        b1 -= lr * db1  # 更新卷积层偏置
        w2 -= lr * dw2  # 更新全连接层权重
        b2 -= lr * db2  # 更新全连接层偏置

    # 在验证集上评估模型
    out1, _ = conv2d_forward(X_val, w1, b1)  # 卷积层前向传播
    out1r, _ = relu_forward(out1)  # ReLU激活
    out2, _ = maxpool_forward(out1r)  # 最大池化
    flat, _ = flatten_forward(out2)  # 展平层
    logits, _ = dense_forward(flat, w2, b2)  # 全连接层
    preds = np.argmax(logits, axis=1)  # 预测结果
    acc = (preds == y_val_labels).mean()  # 计算准确率
    print(f"轮次 {ep+1}/{epochs}  损失={loss:.4f}  验证准确率={acc:.4f}")

卷积​

常见卷积核​

池化​

步幅​

手写数字识别​

卷积

常见卷积核

池化

步幅

手写数字识别